Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦点为F₁、F₂，渐近线为l₁，l₂，过点F₂且与l₁平行的直线交l₂于M，若M在以线段F₁ F₂为直径的圆上，则双曲线的离心率为（　　）

• A、2
• B、

  2

• C、

  3

• D、

  5

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：已知得出过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线方程，与另一条渐近线方程联立即可解得交点M的坐标，代入以线段F₁F₂为直径的圆的方程，即可得出离心率e．

解答： 解：不妨设过点F₂与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=

b

a

(x-c)，
与y=-

b

a

x联立，可得交点M（

c

2

，-

bc

2a

），
∵点M在以线段F₁F₂为直径的圆上，
∴

c2

4

+

b2c2

4a2

=c²，
∴b=

3

a，
∴c=

a2+b2

=2a，
∴e=

c

a

=2．
故选：A．

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，熟练掌握双曲线的渐近线及离心率、直线的点斜式、圆的方程是解题的关键．