Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，顶点为O，准线为l，过该抛物线上异于顶点O的任意一点A作AA₁⊥l于点A₁，以线段AF，AA₁为邻边作平行四边形AFCA₁，连接直线AC交l于点D，延长AF交抛物线于另一点B．若△AOB的面积为S_△AOB，△ABD的面积为S_△ABD，则

(S△AOB)2

S△ABD

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由填空题的特殊性，我们可以利用特殊位置进行解决．

解答： 解：由题意，

(S△AOB)2

S△ABD

的最大值，一定在特殊位置取得，即AB⊥x轴，
此时S_△AOB=

1

2

•

p

2

•2p=

1

2

p²，
S_△ABD=

1

2

•p•2p=p²，
∴

(S△AOB)2

S△ABD

的最大值为

1 4 p4

p2

=

p2

4

．
故答案为：

p2

4

．

点评：本题考查抛物线的性质，考查三角形面积的计算，考查利用特殊位置解决问题，属于中档题．