题目内容
已知数列{an}满足1=a1≤a2≤…≤an≤…，数列{bn}满足bn=
（
-
），Sn为数列{bn}的前n项和，证明：
（1）对于n∈N*，0≤Sn＜2；
（2）对于任意c∈[0，2），存在数列{an}使关于n的不等式Sn＞c有无数个解．
| an | ||
|
| 1 |
| an |
| 1 |
| an+1 |
（1）对于n∈N*，0≤Sn＜2；
（2）对于任意c∈[0，2），存在数列{an}使关于n的不等式Sn＞c有无数个解．
考点：数列的求和,数列与不等式的综合
专题：点列、递归数列与数学归纳法
分析：（1）把bn=
（
-
）通分，放大后裂项，求和后结合已知得答案；
（2）由（1）化简数列{bn}的通项公式，由
得到使数列为递减数列的条件2an+1＞an+an+2，取n倍的bn等于c，即可说明存在数列{an}满足2an+1＞an+an+2，使得
关于n的不等式Sn＞c有无数个解．
| an | ||
|
| 1 |
| an |
| 1 |
| an+1 |
（2）由（1）化简数列{bn}的通项公式，由
| bn |
| bn+1 |
关于n的不等式Sn＞c有无数个解．
解答：
证明：（1）bn=
（
-
）=
=
≤
=2(
-
)．
∵1=a1≤a2≤…≤an≤…，
∴0≤Sn≤2(
-
+
-
+…+
-
)=2(
-
)＜2；
（2）由（1）知，bn=
，bn+1=
，
=
，
存在数列{an}满足2an+1＞an+an+2，
则Sn＞
=c，取n=n0使得c∈（0，2）．
∴对于任意c∈[0，2），存在数列{an}使关于n的不等式Sn＞c有无数个解．
| an | ||
|
| 1 |
| an |
| 1 |
| an+1 |
| an(an+1-an) | ||
|
=
(
| ||||||||
|
2
| ||||||
|
=2(
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
∵1=a1≤a2≤…≤an≤…，
∴0≤Sn≤2(
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
（2）由（1）知，bn=
| an+1-an | ||
an+1
|
| an+2-an+1 | ||
an+2
|
| bn |
| bn+1 |
(an+1-an)•(an+2)
| ||
(an+2-an+1)•(an+1)
|
存在数列{an}满足2an+1＞an+an+2，
则Sn＞
| n(an+1-an) | ||
an+1
|
∴对于任意c∈[0，2），存在数列{an}使关于n的不等式Sn＞c有无数个解．
点评：本题考查放缩法求数列的和，考查了学生的灵活思维和变形能力，对于（2）的证明，转化变形是关键，是难题．
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