Question

已知圆x²+y²=1，过这个圆上任意一点P作y轴的垂线段PD，D为垂足，求线段PD的中点M的轨迹．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x₀，y₀），由PD⊥y轴得到D的坐标，再由M为PD的中点把P的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程得答案．

解答： 解：设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x₀，y₀）．
∵PD⊥y轴于D，
∴点D坐标为（0，y₀），
∵M为PD的中点，
∴

x= x0 2 y= y0+y0 2 =y0

，即

x0=2x y0=y

（1）
∵P（x₀，y₀）在圆上，
∴x02+y02=1（2）
把（1）代入（2）得4x²+y²=1，即

x2

1 4

+y2=1．
∴的轨迹是一个椭圆．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了代入法，是中档题．