Question

13．若函数f（x）同时满足以下三个性质：①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x-$\frac{π}{4}$）+f（-x）=0；③f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上是减函数，则f（x）的解析式可能是（　　）

• A． f（x）=sin2x+cos2x
• B． f（x）=sin2x
• C． f（x）=tan（x+$\frac{π}{8}$）
• D． f（x）=cos2x

Answer 1

分析 由三角函数的图象和性质，结合题意的三个性质逐个排除可得．

解答 解：四个选项的函数均满足：①f（x）的最小正周期为π；
③f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上是减函数，可排除C；
②对任意的x∈R，都有f（x-$\frac{π}{4}$）+f（-x）=0，
用x+$\frac{π}{8}$替换式中的x可得f（x-$\frac{π}{8}$）+f（-x-$\frac{π}{8}$）=0，
即函数的图象关于点（-$\frac{π}{8}$，0）对称，可排除BD，
验证可得A符合题意．
故选：A．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．