Question

8．某车间生产一种仪器的固定成本是7500元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H（x）=$\left\{\begin{array}{l}{400x-{x}^{2}，（0≤x≤200）}\\{40000，（x＞200）}\end{array}\right.$，其中x是仪器的月产量．（利润=总收入-总成本）．
（Ⅰ）将利润表示为月产量x的函数；
（Ⅱ）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？

Answer 1

分析 （Ⅰ）设月产量为x台时的利润为f（x）．则总成本t=7500+100x，由f（x）=H（x）-t，可得答案；
（Ⅱ）根据（I）中函数的解析式，分类讨论得到函数的性质，进而可得最值．

解答 解：（Ⅰ）设月产量为x台时的利润为f（x）．
则总成本t=7500+100x，
又∵f（x）=H（x）-t，
∴利润f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+300x-7500，（0≤x≤200）\\-100x+32500，（x＞200）\end{array}\right.$       …（4分）
（Ⅱ）当0≤x≤200时，f（x）=-（x-150）²+15000，
∴f（x）_max=f（150）=15000；                   …（5分）
当x＞200时，f（x）=-100x+32500在（200，+∞）上是减函数，
∴f（x）＜f（200）=12500．…（6分）
而12500＜15000，所以当x=150时，f（x）取最大，最大为15000元．
答：当月产量为150台时，该车间所获利润最大，最大利润是15000元．  …（8分）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，难度不大，属于基础题．