Question

5．已知正项数列{a_n}满足a₁=1，（n+2）a_n+1²-（n+1）a_n²+a_na_n+1=0，则a_n=$\frac{2}{n+1}$．

Answer 1

分析 把数列递推式变形，可得（n+2）•$（\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}）^{2}+\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=n+1$，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{n+2}$．然后利用累积法得答案．

解答 解：由（n+2）a_n+1²-（n+1）a_n²+a_na_n+1=0，得
（n+2）•$（\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}）^{2}+\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=n+1$，即
$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{n+2}$．
∴${a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}•…•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$
=$\frac{n}{n+1}•\frac{n-1}{n}•…•\frac{2}{3}•1=\frac{2}{n+1}$．
故答案为：$\frac{2}{n+1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，是中档题．