Question

1．直角坐标系的原点是极点，x轴正半轴为极轴，自极点O作直线与曲线pcosθ=4相交于点Q，在OQ上有一动点P满足|OP|•|OQ|=12，若点P的轨迹为曲线C₂，方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）表示的曲线为C₁，
（1）求C₁的极坐标方程；
（2）若曲线C₁与C₂交于点A、B，求A、B两点的距离|AB|．

Answer 1

分析 （1）先求出曲线C₁的普通方程，再求C₁的极坐标方程．
（2）将直线方程ρcosθ=4化为x=4，设P（x，y），求出点P的轨迹，由此利用弦长公式能求出|AB|．

解答 解：（1）∵方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）表示的曲线为C₁，
∴曲线C₁的普通方程为$\sqrt{2}x-y-\sqrt{2}$=0，
∴C₁的极坐标方程为$\sqrt{2}ρcosθ$-ρsinθ-$\sqrt{2}$=0．
（2）以极点为坐标原点建立直角坐标系，将直线方程ρcosθ=4化为x=4，
设P（x，y），Q（4，y₀），
∵|OP|•|OQ|=12，∴（x，y）•（4，y₀）=12，4x+yy₀=12，
又MPO三点共线，xy₀=4y，x²+y²-3x=0，
把y=$\sqrt{2}x-\sqrt{2}$代入x²+y²-3x=0，得：3x²-7x+2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{7}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2}{3}$，
∴|AB|=$\sqrt{（1+2）（\frac{49}{9}-\frac{8}{3}）}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查曲线的极坐标方程和弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．