Question

已知函数f（x）=2xlnx．
（1）求单调区间和最小值；
（2）若对x≥1，都有函数f（x）的图象总在直线y=ax-2的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f′（x）=2lnx+2，令f′（x）=0，得x=

1

e

．由此能求出f（x）的单调区间和最小值．
（2）由已知条件推导出2xlnx＞ax-2对?x≥1恒成立，所以a＜

2xlnx+2

x

=2lnx+

2

x

=g（x），由此能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=2xlnx，
∴x＞0，f′（x）=2lnx+2，
令f′（x）=0，得x=

1

e

．
当0＜x＜

1

e

时，f′（x）＜0；当x＞

1

e

时，f′（x）＞0．
∴f（x）的减区间是（0，

1

e

），增区间是（

1

e

，+∞）．
∴x=

1

e

时，f（x）有最小值f（

1

e

）=

2

e

ln

1

e

=-

2

e

．
（2）∵对x≥1，都有函数f（x）的图象总在直线y=ax-2的上方，
∴2xlnx＞ax-2对?x≥1恒成立，
∴a＜

2xlnx+2

x

=2lnx+

2

x

=g（x），
∴g′(x)=

2(x-1)

x2

≥0，
∴g（x）在[1，+∞）单调递增，
∴g（x）_min=g（1）=2，
∴a＜2，即a的取值范围是（-∞，2）．

点评：本题考查函数的单调区间和最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．