Question

已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个．现从中随机取球，每次只取一球．
（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；
（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,列举法计算基本事件数及事件发生的概率,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）记事件A_i表示“第i次取到白球”（i∈N^*），事件B表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则：

.

B

=

.

A1

.

A2

.

A3

.

A4

+A1

.

A2

.

A3

.

A4

+

.

A1

A2

.

A3

.

A4

+

.

A1

.

A2

A3

.

A4

+

.

A1

.

A2

.

A3

A4，由此利用对立事件概率计算公式能求出事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率．
（2）随机变量X的取值分别为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列与期望．

解答： 解：（1）记事件A_i表示“第i次取到白球”（i∈N^*），
事件B表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，
则：

.

B

=

.

A1

.

A2

.

A3

.

A4

+A1

.

A2

.

A3

.

A4

+

.

A1

A2

.

A3

.

A4

+

.

A1

.

A2

A3

.

A4

+

.

A1

.

A2

.

A3

A4．…（2分）
∴P（

.

B

）=P（

.

A1

.

A2

.

A3

.

A4

）+P（A1

.

A2

.

A3

.

A4

）+P（

.

A1

A2

.

A3

.

A4

）+P（

.

A1

.

A2

A3

.

A4

）+P（

.

A1

.

A2

.

A3

A4）
=(

4

6

)4+

2

6

×(

4

6

)3×4=

16

27

，…（4分）
∴P（B）=1-P（

.

B

）=1-

16

27

=

11

27

．…（5分）
（2）随机变量X的取值分别为2，3，4，5                        …（6分）
P（X=2）=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

，
P（X=3）=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

×

1

4

=

2

15

，
P（X=4）=

C 1 2 C 2 4

C 3 6

×

1

3

=

1

5

，
P（X=5）=1-

1

15

-

2

15

-

1

5

=

3

5

，…（10分）
∴随机变量X的分布列为：

X	2	3	4	5
P	1 15	2 15	1 5	3 5

…（11分）
∴随机变量X的期望为：EX=2×

1

15

+3×

2

15

+4×

1

5

+5×

3

5

=

13

3

．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题．