Question

已知函数f（x）=4x²+ax+b，设关于x的不等式f（x）＞0的解集为（x₁，x₂），且方程f（x）=x的两实根为α，β．
（1）若|α-β|=2，求a，b的关系式；
（2）若α＜1＜β＜2，求（x₁+1）（x₂+1）的范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）=x得到4x²+（a-1）x+b=0，所以根据韦达定理可以用a，b表示α+β，αβ，根据|α-β|=2即可得到a，b的关系式；
（2）令g（x）=4x²+（a-1）x+b，由α＜1＜β＜2便可得到：

g(1)＜0 g(2)＞0

，这样可求出a的范围，而根据韦达定理可用a，b表示出（x₁+1）（x₂+1），根据a的取值范围即可求出（x₁+1）（x₂+1）的范围．

解答： 解：（1）由f（x）=x得：4x²+（a-1）x+b=0；
∴α+β=

1-a

4

，αβ=

b

4

；
又|α-β|=2，∴(α-β)2=(α+β)2-4αβ=

(a-1)2

16

-b=4；
∴b=

(a-1)2

16

-4；
（2）令g（x）=4x²+（a-1）x+b；
∵α＜1＜β＜2；
∴g（1）=4+a-1+b＜0，∴3+a+

(a-1)2

16

-4＜0，解得-15＜a＜1；
g（2）=16+2a-2+b＞0，∴2a+

(a-1)2

16

+10＞0，解得a＜-23，或a＞-7，∴-7＜a＜1；
（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=

b

4

-

a

4

+1=

(a-1)2

64

-1-

a

4

+1=

a2-18a+1

64

=

(a-9)2-80

64

；
函数

(a-9)2-80

64

在（-7，1）上为减函数，
∴-

1

4

＜

(a-9)2-80

64

＜

11

4

；
∴（x₁+1）（x₂+1）的范围为(-

1

4

，

11

4

)．

点评：考查韦达定理，完全平方式，以及二次函数的单调性，并根据单调性求二次函数的值域．