Question

定义区间（m，n），[m，n]，[m，n），（m，n]的长度均为n-m，其中n＞m，已知关于实数x的不等式组

5 x+1 ＞1 log2x+log2(tx+t)＜2

的解集构成的各区间长度之和为4，则实数t的取值范围是（　　）

• A、（0，

  1

  5

  ）
• B、（0，

  1

  5

  ]
• C、（0，

  1

  3

  ]
• D、（0，

  1

  3

  ）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,新定义,不等式的解法及应用

分析：先解关于x的不等式组，解出两个不等式的解集，求两个不等式的解集的交集，A∩B⊆（0，4），不等式组的解集的各区间长度和为4，写出不等式组进行讨论，得到结果．

解答： 解：先解不等式

5

x+1

＞1，整理得

4-x

x+1

＞0，即（x+1）•（x-4）＜0，
所以不等式

5

x+1

＞1的解集A=（-1，4）
设不等式log₂x+log₂（tx+t）＜2的解集为B，则不等式组的解集为A∩B．
不等式log₂x+log₂（tx+t）＜log₂4 等价于

x＞0 tx+t＞0 tx2+tx-4＜0

．
又A∩B⊆（0，4），不等式组的解集的各区间长度和为4，所以不等式组

tx+t＞0 tx2+tx-4＜0

，当x∈（0，4）时，恒成立．   
当x∈（0，4）时，不等式tx+t＞0恒成立，得t＞0．①
当x∈（0，4）时，不等式tx²+tx-4＜0恒成立，即t＜

4

x2+x

恒成立．    
而当x∈（0，4）时，

4

x2+x

的取值范围为 （

1

5

，+∞），所以实数 t≤

1

5

，②
综合①②可得，t的取值范围为 （0，

1

5

]，
故选B．

点评：本题考查一个新定义问题，即区间的长度，本题解题的关键是对于条件中所给的分段函数各段进行整理变化，注意恒成立问题，这是高考题目中必出的．