Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对一切正整数n都有S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在实数a，使不等式（1-$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1-$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1-$\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{2{a}^{2}-3}{2a\sqrt{2n+1}}$对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）对一切正整数n都有S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n-2n=-[a_n-1-（2n-2）]．n=1时，${a}_{1}=1+\frac{1}{2}{a}_{1}$，解得a₁=2．即可得出．
（2）存在实数a＞$\sqrt{3}$，使不等式（1-$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1-$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1-$\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{2{a}^{2}-3}{2a\sqrt{2n+1}}$对一切正整数n都成立．即$（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$×…$（1-\frac{1}{2n}）$＜$\frac{a-\frac{3}{2a}}{\sqrt{2n+1}}$．∵f（a）=a-$\frac{3}{2a}$在a≥$\sqrt{3}$时单调递增，因此只要证明n≥2时，a=$\sqrt{3}$时成立即可．利用数学归纳法证明：$（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$×…$（1-\frac{1}{2n}）$＜$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2n+1}}$．（n≥2）．

解答 解：（1）∵对一切正整数n都有S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n，∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+$\frac{1}{2}$a_n-$[（n-1）^{2}+\frac{1}{2}{a}_{n-1}]$，
化为：a_n-2n=-[a_n-1-（2n-2）]，
n=1时，${a}_{1}=1+\frac{1}{2}{a}_{1}$，解得a₁=2．
可得a_n-2n=0，因此a_n=2n．
（2）存在实数a＞$\sqrt{3}$，使不等式（1-$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1-$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1-$\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{2{a}^{2}-3}{2a\sqrt{2n+1}}$对一切正整数n都成立．
即$（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$×…$（1-\frac{1}{2n}）$＜$\frac{a-\frac{3}{2a}}{\sqrt{2n+1}}$．∵f（a）=a-$\frac{3}{2a}$在a≥$\sqrt{3}$时单调递增，因此只要证明n≥2时，a=$\sqrt{3}$时成立即可．
下面利用数学归纳法证明：$（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$×…$（1-\frac{1}{2n}）$＜$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2n+1}}$．（n≥2）．
（i）n=2时，$（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$=$\frac{3}{8}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}$，因此成立．
（ii）假设n=k≥2（k∈N^*）时成立，即$（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$×…（1-$\frac{1}{2k}$）＜$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2k+1}}$．（n≥2）
n=k+1时，$（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$×…（1-$\frac{1}{2k}$）（1-$\frac{1}{2k+2}$）＜$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2k+1}}$×（1-$\frac{1}{2k+2}$）
下面证明：$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2k+1}}$×（1-$\frac{1}{2k+2}$）＜$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2k+3}}$．即证明：1-$\frac{1}{2k+2}$＜$\frac{\sqrt{2k+1}}{\sqrt{2k+3}}$?$\sqrt{4{k}^{2}+8k+3}$＜$\sqrt{4{k}^{2}+8k+4}$，
上式显然成立，因此n=k+1时成立．
而n=1时，1-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$，
综上可得：存在实数a＞$\sqrt{3}$，使不等式（1-$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1-$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1-$\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{2{a}^{2}-3}{2a\sqrt{2n+1}}$对一切正整数n都成立．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、数列递推关系、数学归纳法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．