Question

12．已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{3}cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是$ρcos（θ-\frac{π}{6}）=3\sqrt{3}$，射线OT：$θ=\frac{π}{3}（ρ＞0）$与曲线C交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C的极坐标方程．
（2）联立方程给求出射线OT与曲线C的交点A的极坐标为（2，$\frac{π}{3}$），射线OT与直线l的交点B的极坐标为（6，$\frac{π}{3}$），由此能求出|AB|．

解答 解：（1）因为曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{3}cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），
消去参数t得曲线C的普通方程为（x-1）²+y²=3，
又x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲线C的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-2=0．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}-2ρcosθ-2=0}\\{θ=\frac{π}{3}（ρ＞0）}\end{array}\right.$，得ρ²-ρ-2=0，
由ρ＞0解得ρ=2，
∴射线OT与曲线C的交点A的极坐标为（2，$\frac{π}{3}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{ρcos（θ-\frac{π}{6}）=3\sqrt{3}}\\{θ=\frac{π}{3}（ρ＞0）}\end{array}\right.$，得ρ=6，
故射线OT与直线l的交点B的极坐标为（6，$\frac{π}{3}$），
∴|AB|=|ρ_B-ρ_A|=4．

点评 本题考查曲线的极坐标的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．