Question

11．已知一条抛物线的焦点是直线l：y=-x-t（t＞0）与x轴的交点，若抛物线与直线l交两点A，B，且$|{AB}|=2\sqrt{6}$，则t=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

Answer 1

分析 当y=0，求得焦点坐标求得抛物线方程，将直线代入抛物线方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦公式，即可求得t的值．

解答 解：当y=0时，x=-t，则抛物线的焦点F（-t，0），
则抛物线方程y²=-4tx，设A，B的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=-4tx}\\{y=-x-t}\end{array}\right.$，整理得：x²+6tx+t²=0，
则x₁+x₂=-6t，
则丨AB丨=丨x₁+x₂-2t丨=8t=2$\sqrt{6}$，
∴t=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．