Question

抛物线C₁以双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F为焦点、左准线为准线，P为C₁与C₂的一个公共点，若直线PF恰好与x轴垂直，则双曲线C₂的离心率所在区间为（　　）

• A、(1，

  3

  2

  )
• B、(

  3

  2

  ，2)
• C、(2，

  5

  2

  )
• D、(

  5

  2

  ，3)

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：直线PF恰好与x轴垂直可得P，|PF|=

b2

a

．又由P在抛物线上，它到焦点F的距离|PF|与到准线x=-

a2

c

的距离相等，可得c+

a2

c

=

b2

a

，解得e³-e²-e-1=0，利用函数零点判定定理即可得出．

解答： 解：直线PF恰好与x轴垂直⇒P(c，

b2

a

)，|PF|=

b2

a

，
又由P在抛物线上，它到焦点F的距离|PF|与到准线x=-

a2

c

的距离相等，即c+

a2

c

=

b2

a

，
解得e³-e²-e-1=0，
e＞1．
令f（e）=e³-e²-e-1，
则f(

3

2

)＜0，f（2）＞0．
由函数零点存在性定理，此方程的根在(

3

2

，2)内．
故选：B．

点评：本题考查了双曲线与抛物线的性质、函数零点存在性定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．