Question

已知f（x）=

a+x2+2x，(x＜0) f(x-1)，(x≥0)

，且函数y=f（x）+x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，1]
• B、（0，1]
• C、（-∞，0]
• D、（-∞，2]

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：先根据当x≥0时，f（x）=f（x-1），可得当x≥0时，f（x）在[-1，0）重复的周期函数，再根据x∈[-1，0）时，y=a+x²+2x=-1+a+（x+1）²，对称轴x=-1，顶点（-1，-1+a），进而可进行分类：（1）如果a＞1，函数y=f（x）-x至多有2个不同的零点；（2）如果a=1，则y有一个零点在区间（-1，0），有一个零点在（-∞，-1），一个零点是原点；（3）如果a＜1，则有一个零点在（-∞，-1），y右边有两个零点，故可求实数a的取值范围．

解答： 解：因为当x≥0时，f（x）=f（x-1），所以所有大于等于0的x代入得到的f（x）
相当于在[-1，0）重复的周期函数，
x∈[-1，0）时，y=a+x²+2x=-1+a+（x+1）²，对称轴x=-1，顶点（-1，-1+a）
（1）如果a＞1，函数y=f（x）+x至多有2个不同的零点；
（2）如果a=1，则y有一个零点在区间（-1，0），有一个零点在（-∞，-1），一个零点是原点；
（3）如果a＜1，则有一个零点在（-∞，-1），y轴右边有两个零点，
故实数a的取值范围是（-∞，1]．
故选A．

点评：本题重点考查函数的零点与方程根的关系，考查函数的周期性，有一定的难度．