Question

已知函数y=x-

1

x

的图象为双曲线，在此双曲线的两支上分别取点P、Q，则线段PQ长的最小值为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先找出两条渐近线，一条为x=0，一条为y=x，由此可知此双曲线的对称轴方程，求出此对称轴与双曲线的交点，即可求出最小距离．

解答： 解：函数y=x-

1

x

的导数为y′=1+

1

x2

＞1，所以函数的渐近线方程为：x=0与y=x，
两条渐近线的角的平分线与x轴所成的倾斜角为157.5°，
其方程为：y=tan（157.5°）x=（1-

2

）x，
它与函数y=x-

1

x

的交点为：（-

2 2

，-

2 2

+

4	2

），
（

2 2

，

2 2

-

4	2

），
PQ两点的最短距离为：2

2 2 -2

．
故答案为：2

2 2 -2

．

点评：本题考查双曲线的基本性质，利用函数的导数求出函数的斜率范围，推出双曲线的渐近线，求出双曲线的对称轴方程是解题的关键．