Question

已知非零向量

a

，

b

满足|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，则

| a |+| b |

| a - b |

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：由于非零向量

a

，

b

满足|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，则由平行四边形法则可得，

a

⊥

b

，令|

a

|=m，|

b

|=n，则|

a

-

b

|=

m2+n2

，则

| a |+| b |

| a - b |

=

1+ 2mn m2+n2

＞1，再由基本不等式即可得到最大值，进而得到所求范围．

解答： 解：由于非零向量

a

，

b

满足|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，
则由平行四边形法则可得，

a

⊥

b

，
令|

a

|=m，|

b

|=n，则|

a

-

b

|=

m2+n2

，
则

| a |+| b |

| a - b |

=

m+n

m2+n2

=

m2+n2+2mn m2+n2

=

1+ 2mn m2+n2

＞1，
又m²+n²≥2mn，则

1+ 2mn m2+n2

≤

1+ m2+n2 m2+n2

=

2

．
则所求的取值范围是（1，

2

]．
故答案为：（1，

2

]．

点评：本题考查平面向量的运用，考查向量的运算的几何意义，考查运用基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．