Question

8．（理科）设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，AC=BC=1，CD=$\sqrt{2}$，
求（1）AC与平面BCD所成角的大小；
（2）二面角A-BC-D的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知得BD=$\sqrt{3}$，OB=OC=OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AO⊥平面BCD，AC与平面BCD所成角为∠ACO，由此能求出AC与平面BCD所成角的大小为30°．
（2）由已知得AO=$\frac{1}{2}$，AB=AC=1=BC，取BC中点E，则∠AEO是二面角A-BC-D的平面角，由此能求出二面角A-BC-D的正切值．

解答 解：（1）如图，∵Rt△BCD中，BC=1，CD=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$，
∵O是Rt△BCD斜边中点，∴OB=OC=OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，
∴AO⊥平面BCD，
∴AC与平面BCD所成角为∠ACO，
∵cos=$\frac{CO}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴∠ACO=30°，
∴AC与平面BCD所成角的大小为30°．
（2）由（1）得AO=$\frac{1}{2}$，AB=AC=1=BC，∴△ABC是正三角形
取BC中点E，则AE⊥BC，OE⊥BC，
AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OE=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则∠AEO是二面角A-BC-D的平面角，tan∠AEO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴二面角A-BC-D的大小为arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查直线与平面所成角的大小的求法，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．