Question

13．已知：$0＜α＜\frac{π}{2}＜β＜π，cos（β-\frac{π}{4}）=\frac{1}{3}$，$sin（α+β）=\frac{4}{5}$．
（1）求sin2β的值；
（2）设函数f（x）=cosx-sinx，试求 f（α）的值．

Answer 1

分析 （1）【解法一】利用二倍角与同角的三角函数关系求出cos（2β-$\frac{π}{2}$），即sin2β的值；
【解法二】利用两角差的余弦公式得出$cosβ+sinβ=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，再两边平方求出sin2β的值；
（2）根据α、β的取值范围，利用同角的三角函数关系和三角恒等变换，求f（α）的值即可．

解答 解：（1）【解法一】∵cos（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，
∴cos（2β-$\frac{π}{2}$）=2cos²（β-$\frac{π}{4}$）-1=2×$\frac{1}{9}$-1=-$\frac{7}{9}$，----（3分）
即sin2β=-$\frac{7}{9}$；-------（6分）
【解法二】∵cos（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{\sqrt{2}}}{2}•（cosβ+sinβ）=\frac{1}{3}$，
即$cosβ+sinβ=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$；------（3分）
两边平方得：$1+sin2β=\frac{2}{9}$，
即sin2β=-$\frac{7}{9}$；------（6分）
（2）∵0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，
∴$\frac{π}{4}$＜β-$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{2}$＜α+β＜$\frac{3π}{2}$，
∴sin（β-$\frac{π}{4}$）＞0，cos（α+β）＜0，
∴sin（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，----------（8分）
cos（α+β）=-$\frac{3}{5}$；-----------（10分）
∴f（α）=cosα-sinα
=$\sqrt{2}$cos（α+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$cos[（α+β）-（β-$\frac{π}{4}$）]
=$\sqrt{2}$[cos（α+β）cos（β-$\frac{π}{4}$）+sin（α+β）sin（β-$\frac{π}{4}$）]
=$\sqrt{2}$（-$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）
=$\frac{16-3\sqrt{2}}{15}$．--------（12分）

点评 本题考查了三角函数的求值问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．