Question

18．已知$α∈（{0，\frac{π}{2}}），cosα=\frac{3}{5}$．
（1）求$sin（{\frac{π}{6}+α}）$的值；  
 （2）若tan（α+β）=3，求tanβ．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，利用两角和的正弦公式求得$sin（{\frac{π}{6}+α}）$的值．
（2）由条件利用两角差的正切公式，求得tanβ的值．

解答 解：（1）$α∈（{0，\frac{π}{2}}），cosα=\frac{3}{5}$$⇒sinα=\frac{4}{5}$，
∴$sin（{\frac{π}{6}+α}）=sin\frac{π}{6}cosα+cos\frac{π}{6}sinα=\frac{1}{2}•\frac{3}{5}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{4}{5}=\frac{{3+4\sqrt{3}}}{10}$．
（2）由（1）知道$tanα=\frac{4}{3}$，
因为tan（α+β）=3，所以tanβ=tan[（α+β）-α]=$\frac{{3-\frac{4}{3}}}{{1+3×\frac{4}{3}}}=\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题．