Question

已知定义在R上的函数f（x），对于任意的x都：f（2-x）=f（2+x），f（4+x）=-f（4-x），求f（0）的值；判断f（x）的奇偶性并证明你的结论．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：在f（2-x）=f（2+x）中，令x=2可得f（0）=f（4），在f（4+x）=-f（4-x）中，令x=0可得f（4）=0，从而可得f（0）；f（4+x）=-f（4-x）可化为f（2+2-x）=-f（2+2+x），再利用f（2-x）=f（2+x）进行变形可得结论．

解答： 解：由已知f（2-x）=f（2+x），
令x=2，得f（0）=f（2+2）=f（4），
由f（4+x）=-f（4-x），
令x=0，得f（4）=-f（4），即f（4）=0，
∴f（0）=f（4）=0，即f （0）=0；
f（x）为奇函数，证明如下：
由f（4+x）=-f（4-x）⇒f（2+2-x）=-f（2+2+x），
又∵f（2-x）=f（2+x），
∴f（2+2-x）=f[2-（2-x）]=f（x）=-f（2+2+x）=-f[2-（2+x）]=-f（-x），
∴f（-x）=-f（x），即函数f（x）是奇函数．

点评：本题考查函数奇偶性的判断，属中档题，定义是解决奇偶性的基本方法，准确理解已知等式并能灵活运用是解决问题的关键．