Question

定义一种新运算*，满足n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*λ为非零常数）．
（1）对于任意给定的k，设a_n=n*k（n=1，2，3，…），证明：数列{a_n}是等差数列；
（2）对于任意给定的n，设b_k=n*k（k=1，2，3…），证明：数列{b_k}是等比数列；
（3）设c_n=n*n（n=1，2，3，..），试求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定,等比关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据定义：n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*λ为非零常数）表示出a_n，a_n+1，只证a_n+1-a_n为常数即可；
（2）根据定义表示出b_k，b_k+1，只需证明

bk+1

bk

是常数；
（3）根据定义表示出c_n，分λ=1，λ≠1两种情况讨论，λ=1时易求；λ≠1时，利用错位相减法可求得S_n；

解答： 解：（1）证明：∵n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*λ为非零常数），
∴a_n=n*k=nλ^k-1（n=1，2，3，…），
∴a_n+1-a_n=（n+1）λ^k-1-nλ^k-1=λ^k-1．
∵k，λ为非零常数，∴数列{a_n}是等差数列．
（2）证明：∵n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*，λ为非零常数），
∴b_k=n*k=nλ^k-1（k=1，2，3，…），
∴

bk+1

bk

=

nλk

nλk-1

=λ．
∵λ为非零常数，
∴数列{b_k}是等比数列．
（3）∵n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*，λ为非零常数），
∴n*n=nλ^n-1．
则S_n=c₁+c₂+…+c_n=λ⁰+2λ+3λ²+…+nλ^n-1，
①当λ=1时，Sn=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
②当λ≠1时，λS_n=λ+2λ²+3λ³+…+nλⁿ．                       
①-②得：（1-λ）S_n=1+λ+λ²+…+λ^n-1-nλⁿ，
∴S_n=

1-λn

(1-λ)2

-

nλn

1-λ

，
综上可知，S_n=

n(n+1) 2 ，当λ=1时 1-λn (1-λ)2 - nλn 1-λ ，当λ≠1时

．

点评：本题考查数列的求和、等差等比数列的定义，属中档题，准确理解所给运算的定义是解决本题的关键．