Question

已知双曲线C：x²-

y2

2

=1，过点A（3，0）作直线l与C交于P、Q两点，若PQ的长等于双曲线C的实轴长的4倍，求l的倾斜角．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线l的方程为：my=x-3，联立

my=x-3 2x2-y2=2

，化为（2m²-1）y²+12my+16=0，利用|PQ|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=8a即可解出．

解答： 解：设直线l的方程为：my=x-3，联立

my=x-3 2x2-y2=2

，
化为（2m²-1）y²+12my+16=0，
y₁+y₂=

-12m

2m2-1

，y₁y₂=

16

2m2-1

．
∴|PQ|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+m2)[( -12m 2m2-1 )2- 64 2m2-1 ]

=4×2．
化为4m⁴-5m²=0，解得m=0或m=±

5

2

．
m=0时，直线l的倾斜角为

π

2

．
m=±

5

2

时，设直线l的倾斜角为α，则tanα=±

2 5

5

，∴α=arctan

2 5

5

或π-arctan

2 5

5

．
∴直线l的倾斜角为

π

2

，α=arctan

2 5

5

或π-arctan

2 5

5

．

点评：本题考查了直线与双曲线相交的弦长问题转化为方程联立、利用根与系数的关系可得弦长、斜率与倾斜角的关系，考查了计算能力，属于中档题．