Question

如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．
（1）求证：AE∥面DBC；
（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC．

Answer 1

考点：空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足，由已知得DO⊥面ABC，由此能证明AE∥面DBC．
（2）由已知得DO⊥AB，AB⊥面DBC，从而AB⊥DC，由此能证明AD⊥DC．

解答： 证明：（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足．
因为面DBC⊥面ABC，又面DBC∩面ABC=BC，DO?面DBC，
所以DO⊥面ABC．
又AE⊥面ABC，则AE∥DO．
又AE?面DBC，DO?面DBC，故AE∥面DBC．
（2）由（1）知DO⊥面ABC，AB?面ABC，所以DO⊥AB．
又AB⊥BC，且DO∩BC=O，DO，BC?平面DBC，则AB⊥面DBC．
因为DC?面DBC，所以AB⊥DC．
又BD⊥CD，AB∩DB=B，AB，DB?面ABD，则DC⊥面ABD．
又AD?面ABD，故可得AD⊥DC．

点评：本题第（1）问考查面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理；第（2）问通过线面垂直证线线垂直问题．