Question

已知数列{a_n}是公差大于零的等差数列，数列{b_n}为等比数列，且a₁=1，b₁=2，b₂-a₂=1，a₃+b₃=13
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式
（Ⅱ）设c_n=a_nb_n+1，求数列{

1

cn

}前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得：

2q-(1+d)=1 1+2d+2q2=13

，由此能求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）利用裂项求和法能求出数列{

1

cn

}前n项和T_n．

解答： （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d（d＞0），数列{b_n}的公比为q
由已知得：

2q-(1+d)=1 1+2d+2q2=13

，
解得：

d=-10 q=-4

，

d=2 q=2

（3分）
因为d＞0，所以d=2，q=2，
∴an=1+2(n-1)=2n-1，bn=2×2n-1=2n
即an=2n-1(n∈N*)，bn=2n(n∈N*)．（6分）
（Ⅱ）Tn=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

= 1 2 (1- 1 3 )+ 1 2 ( 1 3 - 1 5 )+ 1 2 ( 1 5 - 1 7 )+…+ 1 2 ( 1 2n-1 - 1 2n+1 ) = 1 2 (1- 1 2n+1 )

=

n

2n+1

．（10分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．