Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

（m+3）x²+（m+6）x，x∈R．（其中m为常数）
（1）当m=4时，求函数的极值点和极值；
（2）若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上有两个极值点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据到导数和函数的极值的关系即可求出．
（2）y=f（x）在区间（0，+∞）上有两个极值点，等价于f′（x）=0在（0，+∞）有两个正根，问题得以解决．

解答： 解：函数的定义域为R
（1）当m=4时，f（x）=

1

3

x³-

7

2

x²+10x，
∴f′（x）=x²-7x+10，令f′（x）＞0，解得x＞5或x＜2．令令f′（x）＜0，解得2＜x＜5列表

x	（-∞，2）	2	（2，5）	5	（5，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	26 3	↘	25 6	↗

所以函数的极大值点是x=2，极大值是

26

3

；函数的极小值点是x=5，极小值是

25

6

．
（2）f′（x）=x²-（m+3）x+m+6，要使函数y=f（x）在（0，+∞）有两个极值点，则

△=(m+3)2-4(m+6)＞0 m+3＞0 m+6＞0

，
解得m＞3．
故实数m的取值范围为（3，+∞）

点评：本题主要考查了导数和函数的极值的关系，以及函数的零点和方程的关系，属于基础题．