Question

已知x∈[-

π

3

，

2π

3

]，
（1）求函数y=cosx的值域；
（2）求函数y=-3sin²x-4cosx+4的值域．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）在单位圆中画出余弦函数线，直接由三角函数线得到函数y=cosx的值域；
（2）利用（1）中求出的cosx的范围，化正弦为余弦，配方后求函数y=-3sin²x-4cosx+4的值域．

解答： 解：（1）∵x∈[-

π

3

，

2π

3

]，
如图，

由余弦函数线可知，函数y=cosx的值域为[-

1

2

，1]；
（2）y=-3sin²x-4cosx+4
=-3（1-cos²x）-4cosx+4
=3cos²x-4cosx+1
=3(cosx-

2

3

)2-

1

3

．
∵cosx∈[-

1

2

，1]，
∴(cosx-

2

3

)2∈[0，

49

36

]，
则3(cosx-

2

3

)2-

1

3

∈[-

1

3

，

15

4

]．
∴函数y=-3sin²x-4cosx+4的值域是[-

1

3

，

15

4

]．

点评：本题考查了利用三角函数线求余弦函数的值域，考查了配方法求函数的最值，考查了计算能力，是中档题．