设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*).关于数列{an}有下列命题:①若{an}既是等差数列又是等比数列.则Sn=nan(n∈N*),②若Sn=an2+bn.则{an}是等差数列,③若Sn=3n+1.则{an}是等比数列,④若{an}是等比数列.则Sm.S2m-Sm.S3m-S2m(m∈N*)也成等比数列,⑤若{an}是公比为q的等比数列.且Sm.2Sm+1.3Sm+2(m∈N*)成等差数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

设数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），关于数列{a_n}有下列命题：
①若{a_n}既是等差数列又是等比数列，则S_n=na_n（n∈N^*）；
②若S_n=an²+bn（a，b∈R），则{a_n}是等差数列；
③若S_n=3ⁿ+1，则{a_n}是等比数列；
④若{a_n}是等比数列，则S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m（m∈N^*）也成等比数列；
⑤若{a_n}是公比为q的等比数列，且S_m，2S_m+1，3S_m+2（m∈N^*）成等差数列，则3q-1=0．
其中正确的命题是

．（填上所有正确命题的序号）

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：由既是等差数列又是等比数列的数列为非零常数列说明①正确；由数列的前n项和求出通项公式说明②正确，③错误；举反例说明④错误；直接由等比数列的前n项和结合等差数列的性质列式分析⑤正确．

解答： 解：①若{a_n}既是等差数列又是等比数列，则数列为非零常数列，∴S_n=na_n（n∈N^*），命题①正确；
②若S_n=an²+bn（a，b∈R），则a₁=S₁=a+b，
a_n=S_n-S_n-1=an²+bn-[a（n-1）²+b（n-1）]=2an-a+b（n≥2）．
验证n=1上式成立，∴a_n=2an-a+b，则{a_n}是等差数列，命题②正确；
③若S_n=3ⁿ+1，则a₁=S₁=4，
an=Sn-Sn-1=3n+1-3n-1-1=2•3n-1（n≥2），
验证n=1时上式不成立，则{a_n}不是等比数列，命题③错误；
④若{a_n}是等比数列，则S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m（m∈N^*）不一定成等比数列，如数列1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，…，m=2时不成立，命题④错误；
⑤若{a_n}是公比为q的等比数列，且S_m，2S_m+1，3S_m+2（m∈N^*）成等差数列，
设其首项为a₁，公比为q，则2

a1(1-qm+1)

1-q

a1(1-qm)

1-q

a1(1-qm+2)

1-q

，整理得3q-1=0，命题⑤正确．
故答案为：①②⑤．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的性质，是中档题．