Question

已知△ABC的三边为a，b，c，若C=

π

2

，则

a+b

c

的最大值为（　　）

• A、

  2

  2

• B、1
• C、

  2

• D、2

  2

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：由题意和三角形的内角和定理得A=

π

2

-B，由正弦定理得

a+b

c

=

sinA+sinB

sinC

=sinA+sinB，将A代入后利用诱导公式、两角和的正弦公式化简，由正弦函数的最大值求出式子的最大值．

解答： 解：因为C=

π

2

，所以A+B=

π

2

，则A=

π

2

-B，且0＜B＜

π

2

，
由正弦定理得，

a+b

c

=

sinA+sinB

sinC

=sinA+sinB
=sin（

π

2

-B）+sinB=cosB+sinB=

2

sin（B+

π

4

），
所以当B+

π

4

=

π

2

时，sin（B+

π

4

）最大为

2

，
即

a+b

c

的最大值为

2

，
故选：C．

点评：本题考查正弦定理，诱导公式、两角和的正弦公式的应用，以及正弦函数的性质，熟练掌握公式是解题的关键．