Question

18．若函数f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$在区间（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （-1，0]
• B． （-1，0）
• C． [0，1]
• D． （0，1]

Answer 1

分析 根据题意，对函数f（x）求导，可得f′（x）=$\frac{4（1-{x}^{2}）}{（{x}^{2}+1）}$，令f′（x）≥0，解可得函数f（x）的单调递增区间，而由条件函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增便可得出关于m的不等式组，从而求出实数m的取值范围．

解答 解：根据题意，函数f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，
其导数f′（x）=$\frac{（4x）′（{x}^{2}+1）-（4x）（{x}^{2}+1）′}{（{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{4（1-{x}^{2}）}{（{x}^{2}+1）}$，
若f′（x）≥0，即$\frac{4（1-{x}^{2}）}{（{x}^{2}+1）}$≥0，解可得-1≤x≤1；
即区间[-1，1]是f（x）的单调递增区间；
若函数f（x）在区间（m，2m+1）上是单调递增函数，
则有$\left\{\begin{array}{l}{m≥-1}\\{2m+1≤1}\\{m＜2m+1}\end{array}\right.$，解可得-1＜m≤0，
即m的取值范围为（-1，0]；
故选：A．

点评 本题考查利用导数求函数单调区间的方法，一元二次不等式的解法，关键是求出函数f（x）的递增区间．