Question

6．已知函数f（x）=|x-a|-|x+3|（a∈R）．
（1）当a=-1时，解不等式f（x）≤1；
（2）若x∈[0，3]时，不等式f（x）≤4恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）代入a的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（2）问题转化为|x-a|≤x+7，由此得-7≤a≤2x+7，求出2x+7的最小值是7，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=-1时，不等式可化为|x+1|-|x+3|≤1，
x≤-3时，不等式可化为-x-1+x+3≤1，即2≤1，不成立，
-3＜x＜-1时，不等式可化为-x-1-x-3≤1，解得：-$\frac{5}{2}$≤x＜-1，
x≥-1时，不等式可化为x+1-x-3≤1，即-2≤1，成立，
综上，不等式的解集是[-$\frac{5}{2}$，+∞）；
（2）若x∈[0，3]时，不等式f（x）≤4恒成立，
即|x-a|-|x+3|≤4，x+3＞0，
即|x-a|≤x+7，
由此得-7≤a≤2x+7，
x∈[0，3]时，2x+7的最小值是7，
故a的范围是[-7，7]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．