题目内容
18．若函数f（x）满足：①对定义域内任意x，都有f（x）+f（-x）=0，②对定义域内任意x1，x2，且x1≠x2，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，则称函数f（x）为“优美函数”．下列函数中是“优美函数”的是（ ）| A． | f（x）=$\frac{-{e}^{x}+1}{1+{e}^{x}}$ | |
| B． | f（x）=ln（1+x）+ln$\frac{1}{-x+1}$ | |
| C． | f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x-1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}+2x+1，x＜0}\end{array}\right.$ | |
| D． | f（x）=tan x |
分析 由条件知具备函数是奇函数，且在定义域上是增函数的函数是“优美函数”．结合函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可．
解答 解：由：①对定义域内任意x，都有f（x）+f（-x）=0得f（-x）=-f（x），即函数f（x）是奇函数，
由，②对定义域内任意x1，x2，且x1≠x2，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，得函数在定义域上为增函数，
A．f（x）=$\frac{-{e}^{x}+1}{1+{e}^{x}}$=$\frac{2-（1+{e}^{x}）}{1+{e}^{x}}$=$\frac{2}{1+{e}^{x}}$-1为减函数，不满足条件．
B．由$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＜1}\end{array}\right.$，得-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1），
函数y=ln（1+x）在定义域上是增函数，y=1-x是减函数，y=$\frac{1}{-x+1}$是增函数，则y=ln$\frac{1}{-x+1}$是增函数，即f（x）=ln（1+x）+ln$\frac{1}{-x+1}$是增函数，满足条件．
C．当x＞0，则-x＜0，则f（-x）=-x2-2x+1=-（x2+2x-1）=-f（x），则函数f（x）是奇函数，作出函数f（x）的图象如图，则由图象知函数在定义域上不单调，不满足条件．
D．函数f（x）是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件．
故选：B．
点评 本题主要考查新定义的应用，根据条件判断函数的奇偶性以及函数的单调性是解决本题的关键．
A，B两个班各选出10名学生进行测验，成绩的茎叶图如图2210，用图估计，B班的平均分较高．| A． | f（x）=2lg（x-1） | B． | f（x）=（x+1）2 | C． | f（x）=e-x | D． | f（x）=$\frac{1}{x}$ |
| A． | 函数f（x）的周期为π | |
| B． | 对于?a∈R，函数f（x+a）都不可能为偶函数 | |
| C． | ?x0∈（0，3π），使f（x0）＞4 | |
| D． | 函数f（x）在区间$[\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}]$内单调递增 |