Question

11．已知函数f（x）=e^x-ax有两个零点x₁，x₂，且x₁＜x₂则下列命题中正确的有①②④（填上你认为正确的所有序号）
①a＞e
②x₁+x₂＞2 
③x₁x₂＞1 
④有极小值点x₀，且x₁+x₂＜2x₀．

Answer 1

分析 利用函数的导数，判断函数的单调性，对四个选项分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：对于①，∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-a，令f′（x）=e^x-a＞0，
当a≤0时，f′（x）=e^x-a＞0在x∈R上恒成立，
∴f（x）在R上单调递增．
当a＞0时，∵f′（x）=e^x-a＞0，∴e^x-a＞0，解得x＞lna，
∴f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
∵函数f（x）=e^x-ax有两个零点x₁＜x₂，
∴f（lna）＜0，a＞0，
∴e^lna-alna＜0，
∴a＞e，所以①正确；
对于②，x₁+x₂=ln（a²x₁x₂）=2lna+ln（x₁x₂）＞2+ln（x₁x₂），
取a=$\frac{{e}^{2}}{2}$，f（2）=e²-2a=0，∴x₂=2，f（0）=1＞0，∴0＜x₁＜1，∴x₁+x₂＞2，所以②正确；
对于③，f（0）=1＞0，∴0＜x₁＜1，x₁x₂＞1不一定，所以③不正确；
对于④f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，∴有极小值点x₀=lna，且x₁+x₂＜2x₀=2lna，所以④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．