Question

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=$\frac{2π}{3}$，b=1，S_△ABC=$\sqrt{3}$
（1）求a，c的值；
（2）求$sin（B+\frac{π}{6}）$的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理以及三角形的面积求出c，通过余弦定理求解a．
（2）利用两角和与差的三角函数化简求解即可．

解答 解：（1）由A=$\frac{2π}{3}$，b=1，S_△ABC=$\sqrt{3}$，可得$s=\frac{1}{2}bcsinA$=$\sqrt{3}$得c=4，
由余弦定理得a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$，
∴$a=\sqrt{21}$---------------（5分）
（2）由正弦定理得sinB=$\frac{bsinA}{a}$，∴$sinB=\frac{{\sqrt{7}}}{14}$
因为A为钝角，所以$cosB=\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$，
$sin（B+\frac{π}{6}）$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$$-\frac{3\sqrt{21}}{14}×\frac{1}{2}$，
所以$sin（B+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$--------------（10分）

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．