Question

6．数列{a_n}满足a₁=0，且a_n，n+1，a_n+1成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知a_n，n+1，a_n+1成等差数列，得递推关系式，分类讨论可得通项公式．
（2）讨论n的奇偶性，分别求和．

解答 解：（1）{a_n}满足a₁=0，且a_n，n+1，a_n+1成等差数列．
∴a_n+a_n+1=2（n+1），a₂=4．
n≥2时，a_n-1+a_n=2n．
∴a_n+1-a_n-1=2．
∴数列{a_n}奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为2．
n为奇数时，a_n=0+$（\frac{n+1}{2}-1）$×2=n-1．
n为偶数时，a_n=4+$（\frac{n}{2}-1）$×2=n+2．
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n-1，n为奇数}\\{n+2，n为偶数}\end{array}\right.$．
（2）n为偶数时，数列{a_n}的前n项和S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=2×2+2×4+…+2×n=2×$\frac{\frac{n}{2}（2+n）}{2}$=$\frac{n（n+2）}{2}$．
n为奇数时，数列{a_n}的前n项和S_n=S_n-1+a_n=$\frac{（n-1）（n+1）}{2}$+n-1=$\frac{（n-1）（n+3）}{2}$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（n+2）}{2}，n为偶数}\\{\frac{（n-1）（n+3）}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．