Question

给出下列命题；
①设[x]表示不超过x的最大整数，则[log₂1]+[og₂2]+[log₂3]+…+[log₂127]+[log₂128]=649；
②定义在R上的函数f（x），函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于y轴对称；
③函数f（x）=

x-1

2x+1

的对称中心为（-

1

2

，-

1

2

）；
④定义：若任意x∈A，总有a-x∈A（A≠∅），就称集合A为a的“闭集”，已知A⊆{1，2，3，4，5，6} 且A为6的“闭集”，则这样的集合A共有7个．其中正确的命题序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用,集合

分析：由[x]表示不超过x的最大整数，分别求出各项求和即得，即可判断①；
令x-1=t，则1-x=-t，有y=f（t）与y=f（-t）的图象关于t=0对称，即可判断②；
对函数f（x）化简整理，可得f（x）的图象可由y=-

3 4

x

的图象向左平移

1

2

个单位，再向上平移

1

2

个单位得到，故f（x）关于（-

1

2

，

1

2

）对称，即可判断③；
根据已知中“闭集”的定义，求出集合A⊆{1，2，3，4，5，6}且A为6的“闭集”，可判断④．

解答： 解：对于①，[log₂1]+[og₂2]+[log₂3]+…+[log₂127]+[log₂128]
=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×64+7=649，故①对；
对于②，令x-1=t，则1-x=-t，有y=f（t）与y=f（-t）的图象关于t=0对称，
即有函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称，故②错；
对于③，函数f（x）=

x-1

2x+1

=

x+ 1 2 - 3 2

2(x+ 1 2 )

=

1

2

-

3 4

x+ 1 2

，由于y=-

3 4

x

的图象关于原点对称，
而f（x）的图象可由y=-

3 4

x

的图象向左平移

1

2

个单位，再向上平移

1

2

个单位得到，
故f（x）关于（-

1

2

，

1

2

）对称，故③错；
对于④，集合A⊆{1，2，3，4，5，6}且A为6的“闭集”，则这样的集合A共有
{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共7个，故④正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的对称性及运用，考查新定义的理解和运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．