Question

8．已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|-2x+a²．
（Ⅰ）若a＞2，解关于x的方程f（x）=a²-2a；
（Ⅱ）若a∈[-2，4]，求函数f（x）在闭区间[-3，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a＞2，根据绝对值的性质直接解关于x的方程f（x）=a²-2a即可；
（Ⅱ）若a∈[-2，4]，根据a的取值范围将函数f（x）表示成分段函数形式，结合一元二次函数单调性和最值之间的关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=a²-2a得x|x-a|-2x+a²=a²-2a，即x|x-a|=2（x-a），
则x=a是方程的根，
①当x＞a时，x=2，∵a＞2，∴此时方程无解，
②当x＜a时，x=-2为方程的解，综上x=a或x=-2．
（Ⅱ）f（x）=x|x-a|-2x+a²=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（a+2）x+{a}^{2}}&{x≥a}\\{-{x}^{2}+（a-2）x+{a}^{2}}&{x＜a}\end{array}\right.$，
①若-2≤a≤2时，$\frac{a}{2}-1$≤a，$\frac{a}{2}$+1≥a，
则f（x）_min=min{f（-3），f（$\frac{a}{2}$+1）}=min{a²-3a-3，$\frac{1}{4}$（3a²-4a-4）}=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{a}^{2}-4a-4}{4}}&{-2≤a＜4-2\sqrt{6}}\\{{a}^{2}-3a-3}&{4-2\sqrt{6}≤a≤2}\end{array}\right.$．
②若2＜a≤4时，$\frac{a}{2}-1$≤a，$\frac{a}{2}$+1＜a，
则f（x）_min=min{f（-3），f（a）}=min{a²-3a-3，a²-2a}=a²-3a-3．

综上f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{a}^{2}-4a-4}{4}}&{-2≤a＜4-2\sqrt{6}}\\{{a}^{2}-3a-3}&{4-2\sqrt{6}≤a≤4}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查分段函数和绝对值函数的应用，根据条件转化为分段函数形式，利用一元二次函数的单调性和最值之间的关系是解决本题的关键．