Question

18．定义在R上的函数f（x）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx+|sinx-cosx|），给出下列结论：
①f（x）为周期函数      
 ②f（x）的最小值为-1
③当且仅当x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最小值
④当且仅当2kπ-$\frac{π}{2}$＜x＜（2k+1）π，（k∈Z）时，f（x）＞0
⑤f（x）的图象上相邻最低点的距离为2π．
其中正确的结论序号是（　　）

• A． ①④⑤
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ②③⑤

Answer 1

分析 根据绝对值的应用将函数进行化简，然后作出函数f（x）的图象，利用数形结合以及三角函数的性质进行判断即可．

解答 解：当sinx≥cosx，即 x∈[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$]时，
f（x）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx+|sinx-cosx|）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx+sinx-cosx）=sinx，
当sinx＜cosx，x∈[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]时，
f（x）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx+|sinx-cosx|）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx-sinx+cosx）=cosx，

作出正弦函数y=sinx与y=cosx在一个周期上的图象如图：取函数的最大值，
即为函数f（x）=max{sinx，cosx}，
①函数以2π为周期的周期函数，故①正确，
②由图象知函数的最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故②错误
③由图象知当且仅当x=2kπ-$\frac{3π}{4}$时，函数取得最小值-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故③错误，
④由图象知当2kπ-$\frac{π}{2}$＜x＜（2k+1）π，（k∈Z）时，f（x）＞0成立，故④正确，
⑤∵函数的周期是2π，∴f（x）的图象上相邻最低点的距离为2π正确，故⑤正确，
故正确的是①④⑤，
故选：A

点评 本题考查与三角函数的图象和性质有关的命题的真假判断，根据条件先求出函数f（x）的表达式，作出图象，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生理解信息的能力．