Question

某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜

π

2

）在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如表：

x	x1	1 3	x2	x3	10 3
wx+φ	0	π 2	π	3π 2	2π
Asin（wx+φ）	0	3	0	- 3	0

（1）请写出上表的x₁，x₂，x₃，并直接写出函数的解析式；
（2）设g（x）=

3

f（x）+f（x-1），当x∈[0，4]时，求g（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得ω、φ的值，得到函数解析式，进一步求得x₁、x₂、x₃；
（2）化简g（x）=2

3

sin（

π

2

x+

π

6

），根据函数的单调区间由

π

6

≤

π

2

x+

π

6

≤

π

2

和

3π

2

≤

π

2

x+

π

6

≤

13π

6

确定，解得即可

解答： 解：（1）：由表可知，

1

3

ω+φ=

π

2

，

7

3

ω+φ=

3π

2

，
解得，ω=

π

2

，φ=

π

3

．
由

π

2

x₁+

π

3

=0、

π

2

x₂+

π

3

=π、

π

2

x₃+

π

3

=2π，得
x₁=-

2

3

，x₂=

4

3

，x₃=

7

3

，
∴f（x）=

3

sin（

π

2

x+

π

3

），
（2）g（x）=

3

f（x）+f（x-1）=sin（

π

2

x+

π

3

）+

3

sin（

π

2

x+

π

3

-

π

2

）=2

3

sin（

π

2

x+

π

6

）
当x∈[0，4]时，

π

6

≤

π

2

x+

π

6

≤

13π

6

g（x）的单调递增区间由

π

6

≤

π

2

x+

π

6

≤

π

2

和

3π

2

≤

π

2

x+

π

6

≤

13π

6

确定，
解得0≤x≤

2

3

，和

8

3

≤x≤4，
∴x∈[0，4]时，求g（x）的单调增区间为[0，

2

3

]和[

8

3

，4]

点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，考查了y=Asin（ωx+φ）的性质，训练了五点作图法，是中档题．