题目内容
已知圆C：x2+8x+y2+a=0在y轴上截得的线段长为4．
（1）求过点P（-2，4）且与圆C相切的直线方程；
（2）若点O和点C分别是坐标原点和已知圆的圆心，点Q为圆C上任意一点，求
•
的取值范围．
（1）求过点P（-2，4）且与圆C相切的直线方程；
（2）若点O和点C分别是坐标原点和已知圆的圆心，点Q为圆C上任意一点，求
| OQ |
| CQ |
考点：直线和圆的方程的应用
专题：综合题,直线与圆
分析：（1）利用圆C：x2+8x+y2+a=0在y轴上截得的线段长为4，求出圆的方程，设出直线方程，利用点到直线的距离公式，求过点P（-2，4）且与圆C相切的直线方程；
（2）设Q（-4+2
cosα，2
sinα），则
•
=（-4+2
cosα，2
sinα）•（2
cosα，2
sinα）=-8
cosα+20，即可求
•
的取值范围．
（2）设Q（-4+2
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| OQ |
| CQ |
解答：
解：（1）∵圆C：x2+8x+y2+a=0在y轴上截得的线段长为4，
∴2
=4，
∴a=-4，
∴圆C：x2+8x+y2-4=0的圆心为圆心坐标为（-4，0），半径为2
，
设直线方程为y-4=k（x+2），则kx-y+2k+4=0，
∴
=2
，
∴k=-
，
∴过点P（-2，4）且与圆C相切的直线方程为x+2y-6=0；
（2）设Q（-4+2
cosα，2
sinα），则
•
=（-4+2
cosα，2
sinα）•（2
cosα，2
sinα）=-8
cosα+20，
∴
•
的取值范围是[-8
+20，8
+20]．
∴2
| -a |
∴a=-4，
∴圆C：x2+8x+y2-4=0的圆心为圆心坐标为（-4，0），半径为2
| 5 |
设直线方程为y-4=k（x+2），则kx-y+2k+4=0，
∴
| |-4k+2k+4| | ||
|
| 5 |
∴k=-
| 1 |
| 2 |
∴过点P（-2，4）且与圆C相切的直线方程为x+2y-6=0；
（2）设Q（-4+2
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∴
| OQ |
| CQ |
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点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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