Question

设函数f（x）=x|x-a|（a∈R）
（1）讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当x∈[0，1]时，f（x）的最大值为

a2

4

，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可讨论f（x）的奇偶性；
（2）根据函数的最值，结合分段函数即可得到结论．

解答： 解：（1）a=0，f（x）=x|x|，?x∈R，f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数；
a≠0，f（x）=x|x-a|，f（1）=|a-1|，f（-1）=-|a+1|，f（1）±f（-1）≠0，
∴f（x）为非奇非偶函数
（2）f(x)=x|x-a|=

x2-ax x≥a ax-x2 x＜a

①若a≤0，则f(x)max=f(1)=1-a=

a2

4

⇒a=-2-2

2

②若a＞0，则
（ i）

a

2

＞1⇒f(x)max=f(1)=

a2

4

⇒a∈∅
（ ii）

a

2

≤1≤

1+ 2

2

a⇒f(x)max=f(

a

2

)=

a2

4

⇒a∈[2

2

-2，2]
（ iii）1＞

1+ 2

2

a⇒f(x)max=f(1)=

a2

4

⇒a∈∅
综上：a∈[2

2

-2，2]∪{-2

2

-2}

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数最值的应用，利用分段函数结合二次函数的图象和性质是解决本题的关键．