Question

已知数列{a_n}中，S_n是其前n项和，并且S_n+1=4a_n+2（n=1，2，…），a₁=1
（1）设b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，…），求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）数列{a_n}中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：等比关系的确定,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推公式可把已知条件进行转化为a_n+1=4a_n-2a_n-1，从而可得数列{b_n}为等比数列，
（2）由（1）可得b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，构造数列{

an

2n

}，利用数列{

an

2n

}是等差数列即可求出数列{a_n}的通项公式．
（3）数列{a_n}的通项公式的特点，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵S_n+1=S_n+a_n+1=4a_n-1+2+a_n+1，
∴4a_n+2=4a_n-1+2+a_n+1．
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
即b_n=2b_n-1，且b₁=a₂-2a₁=3，
∴{b_n}是公比q=2的等比数列．
（2）∵{b_n}是公比q=2的等比数列．
∴b_n=3•2^n-1，
即b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
∴

an+1

2n+1

-

2an

2n+1

=

3?2n-1

2n+1

，
即

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，
即{

an

2n

}是公差d=

3

4

，首项

a1

2

=

1

2

的等差数列，
∴

an

2n

=

1

2

+

3

4

(n-1)，
即an=(3n-1)?2n-2，n≥1．
（3）∵an=(3n-1)?2n-2，n≥1．
∴a1=2?2-1=1，a2=5?20=5，
当n＞2时，数列an=(3n-1)?2n-2单调递增，
∴数列{a_n}存在最小项a₁=1，不存在最大项．

点评：本题主要考查了利用递推公式转化“和”与“项”进而求数列的通项公式，采用构造证明等差（等比数列）也是数列中的重点，要注意掌握运用．