Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意的x，y＞0，均有f（xy）=f（x）•f（y），且当x＞1时，f（x）＜1，f（3）=

1

9

（1）求证f（x）＞0；
（2）求证f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（3）若f（m）=9，求m的值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）运用赋值法，根据条件f（xy）=f（x）•f（y）将x，y换为

x

，舍去f（

x

）=0，即得f（x）＞0；
（2）运用函数的单调性的定义，令0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，根据x＞1时，f（x）＜1，得到f(

x2

x1

)＜1，再由f（xy）=f（x）•f（y）得

f(x2)

f(x1)

＜1，再由（1）的结论得证；
（3）运用赋值法，令x=y=1，由条件求出f（1）=1，再令x=3，y=

1

3

，求出f（

1

3

）=9，从而得到f（m）=f（

1

3

），根据（2）的结论，即得m的值．

解答： （1）证明：∵对任意的x，y＞0，均有f（xy）=f（x）•f（y），
∴f（x）=f（

x

）•f（

x

）=f²（

x

），
若f（

x

）=0，则f（x）=0，这与f（3）＞0矛盾，
∴f（x）＞0成立；
（2）证明：令0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
∵x＞1时，f（x）＜1，
∴f(

x2

x1

)＜1，
∵f（xy）=f（x）•f（y），
∴f（x）=

f(xy)

f(y)

，
∴f(

x2

x1

)=

f(x2)

f(x1)

＜1，
由（1）得：f（x₂）＜f（x₁），
∴由函数的单调性的定义得：
f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（3）解：令x=y=1，则f（1）=f²（1），
即f（1）=1或f（1）=0（舍去），
又f（3）=

1

9

，
∴f(

1

3

)=

f(1)

f(3)

=

1

1 9

=9，
∵f（m）=9，
∴f（m）=f（

1

3

），
∵f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴m=

1

3

．

点评：本题主要考查函数的单调性的证明和运用，注意定义域的应用，同时考查赋值法在解决抽象函数问题时的灵活运用，注意条件的反复运用和灵活运用．