Question

17．已知圆C的方程为（x-3）²+y²=1，圆M的方程为（x-3-3cosθ）²+（y-3sinθ）²=1（θ∈R），过M上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A、B，则∠APB的最大值为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 首先判断圆与圆的位置关系，进一步利用特殊位置把结论转化为解三角形问题，最后求出∠APB的最大值．

解答 解：圆C的方程为（x-3）²+y²=1，圆心坐标为：C（3，0）半径r=1．
圆M的方程（x-3-3cosθ）²+（y-3sinθ）²=1，圆心坐标为：M（3+3cosθ，3sinθ），半径R=1．
由于cos²θ+sin²θ=1，|C₁C₂|＞R+r，
所以两圆相离．
过M上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A、B，则要求∠APB的最大值，
只需满足：在圆M找到距离圆C最近点即可．
所以|PC|=3-1=2，|AC|=1．
解得：∠APC=$\frac{π}{6}$，
所以：∠APB=$\frac{π}{3}$，
即∠APB的最大值为$\frac{π}{3}$．
故答案为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系，特殊位置出现相关的三角形知识，及角的最值问题．