Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的右顶点为A（2，0），点P（2e，

1

2

）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足

OC

=λ

BA

，且

OC

•

OB

=0，求实数λ的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出a=2，

4e2

a2

+

1 4

b2

=1，由此能求出椭圆的方程．
（2）设直线OC的斜率为k，则直线OC方程为y=kx，直线AB方程为y=k（x-2），分别代入椭圆方程x²+4y²=4，由

OC

•

OB

=0，求出k=

2

2

，再由

OC

=λ

BA

，能求出实数λ的值．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的右顶点为A（2，0），∴a=2，
∵点P（2e，

1

2

）在椭圆上，
∴

4e2

a2

+

1 4

b2

=1，
∵a²=4，e2=

c2

4

，a²=b²+c²，
∴b²=1，c²=3，
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设直线OC的斜率为k，则直线OC方程为y=kx，
代入椭圆方程

x2

4

+y2=1，即x²+4y²=4，
得（1+4k²）x²=4，∴xc=

2

1+4k2

，
∴C（

2

1+4k2

，

2k

1+4k2

），
又直线AB方程为y=k（x-2），代入椭圆方程x²+4y²=4，
得（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0，
∵x_A=2，∴x_B=

2(4k2-1)

1+4k2

，
∵

OC

•

OB

=0，
∴

2(4k2-1)

1+4k2

•

2

1+4k2

+

-4k

1+4k2

•

2k

1+4k2

=0，
∴k2=

1

2

，∵C在第一象限，∴k＞0，∴k=

2

2

，
∵

OC

=（

2

1+4k2

，

2k

1+4k2

），

BA

=（2-

2(4k2-1)

1+4k2

，0-

-4k

1+4k2

）=（

4

1+4k2

，

4k

1+4k2

），
由

OC

=λ

BA

，得λ=

k2+ 1 4

，
∴k=

2

2

，∴λ=

3

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的值的求法，解题时要认真审题，仔细运算，注意推理论证能力的培养．