Question

已知F₁（-1，0），F₂（1，0）为椭圆C的左、右焦点，且点P（1，

2 3

3

）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F₁的直线l交椭圆C于A，B两点，问△F₂AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），由|PF₁|+|PF₂|=2a，利用已知条件能求出a²=3，b²=2，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线l：y=k（x+1），由

x2 3 + y2 2 =1 y=k(x+1)

，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，利用韦达定理推导出S△ABF1＜

4

3

．当k不存在时圆面积最大，此时直线方程为x=-1．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
∵|PF₁|+|PF₂|=

(1+1)2+( 2 3 3 )2

+

(1-1)2+( 2 3 3 )2

=2

3

=2a，
∴a²=3，b²=2，
∴椭圆C的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．…（4分）
（2）当直线l斜率存在时，设直线l：y=k（x+1），
由

x2 3 + y2 2 =1 y=k(x+1)

，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1x2=

3k2-6

2+3k2

，x1+x2=

-6k2

2+3k2

．…（6分）
所以|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3(k2+1)

2+3k2

，
设内切圆半径为r，∵△ABF₂的周长为4a=4

3

（定值），
S△ABF1=

1

2

×4a×r=2

3

r，
∴当△ABF₂的面积最大时，内切圆面积最大，
又S∉ABF1=

1

2

|F1F2||y1-y2|=|y₁-y₂|
=|k||x₁-x₂|=

4 3k2(k2+1)

2+3k2

，…（8分）
令t=2+3k²≥2，则k²=

t-2

3

，
∴S△ABF1=

4 3k2(k2+1)

2+3k2

=4

(t-2)(t+1) 3t2

=

4

3

- 2 t2 - 1 t +1

＜

4

3

．…（10分）
又当k不存在时，|y₁-y₂|=

4

3

，
此时r=

S

2 3

=

2

3

，S_圆=

4

9

π，
∴当k不存在时圆面积最大，S_圆=

4

9

π，
此时直线方程为x=-1．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形内切圆面积是否存在最大值的判断，解题时要认真审题，注意韦达定理和分类讨论思想的合理运用．