Question

已知椭圆4x²+y²=1，O是坐标原点．
（Ⅰ）设椭圆在第一象限的部分曲线为C，动点P在C上，C在点P处的切线与x轴、y轴的交点分别为G、H，以OG、OH为邻边作平行四边形OGMH，求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若椭圆与x轴y轴正半轴交于A、B两点，直线y=kx（k＞0）与椭圆交于R、S两点，求四边形ARBS面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）曲线C的方程化为y=

1-4x2

，（0＜x＜

1

2

，0＜y＜1），利用导数的几何意义求出过点P的切线方程，从而求出G点和H点坐标，由四边形OGMH为平行四边形，求出M点坐标，由此能求出点M的轨迹方程．
（Ⅱ）设点R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），联立

y=kx 4x2+y2=1

，得（k²+4）x²-1=0，由S_{四边形ARBS}=S_△RBS+S_△RAS，利用韦达定理和均值定理能求出四边形ARBS面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，曲线C的方程可化为：
y=

1-4x2

，（0＜x＜

1

2

，0＜y＜1）
∴y′=

-8x

2• 1-4x2

=

-4x

1-4x2

，
设曲线C上点P的坐标标为（x₀，y₀），
则点P处的切线斜率为：
y′|x=x0=

-4x0

1-4x02

=-

4x0

y0

，
∴过点P的切线方程为y-y₀=-

4x0

y0

(x-x0)，
令x=0，得y=y₀+

4x02

y0

=

1

y0

，
令y=0，得x=x₀+

y02

4x0

=

1

4x0

，
∴G（

1

4x0

，0），H（0，

1

y0

），
设点M从标为（x，y），
∵四边形OGMH为平行四边形，∴

OM

=

OG

+

OH

，
∴

x= 1 4x0 y= 1 y0

，即

x0= 1 4x y0= 1 y

，
又∵点P在椭圆上，∴4（

1

4x

）²+（

1

y

）²=1，
整理，得

1

4x2

+

1

y2

=1，x＞

1

2

，y＞1，
∴点M的轨迹方程为：

1

4x2

+

1

y2

=1，x＞

1

2

，y＞1．
（Ⅱ）设点R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
联立

y=kx 4x2+y2=1

，得（kx）²+4x²=1，即（k²+4）x²-1=0，
∴x₁+x₂=0，x1x2=-

1

k2+4

，
由题意知S_{四边形ARBS}=S_△RBS+S_△RAS
=

1

4

(2+k)|x1-x2|
=

1

4

（2+k）

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

4

(2+k)2•4 k2+4

=

1

2

4+4k+k2 k2+4

=

1

2

1+ 4 k+ 4 k

≤

1

2

1+ 4 2 k• 4 k

=

2

2

．
当且仅当k=

4

k

（k＞0），即k=2时，取“=”号，
∴四边形ARBS面积的最大值为

2

2

．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查四边形面积最大值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．