题目内容

已知曲线C：x2=4y与椭圆E交于点P，点P在第一象限，椭圆E的两个焦点分别为F1（0，1），F2（0，-1），|PF1|=
5
3
，直线l与椭圆E交于A、B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：由已知条件，求出P点坐标，从而求出OP的斜率，设曲线C与曲线E的另一个交点为P′，由抛物线和椭圆的对称性求出OP′的斜率，由此能求出直线l的斜率k的取值范围．
解答： 解：由题意知|PF1|=yP+1=
5
3
，
∴yP=
2
3
，∴xP=
4yP
=
2
6
3
，
∵AB的中点M在曲线C上，∴直线A原点，
∵kOP=
yP
xP
=
2
3
2
6
3
=
6
6
，
设曲线C与曲线E的另一个交点为P′，
由抛物线和椭圆的对称性知：kOP′=-kOP=-
6
6
，
∴l的斜率k的取值范围是[-
6
6
，
6
6
]．
点评：本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意圆锥曲线的对称性的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
有下列命题：
①已知函数f（x）为连续可导函数，若f（x）为奇函数，则f（x）的导函数f′（x）为偶函数；
②若函数f（x）=x2，则f′（2x）=[f（2x）]′；
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-5）（x-6），则g′（6）=120；
④若三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值”的充要条件．
其中真命题的序号是
 
．
若x、y满足条件
3x-5y+6≥0
2x+3y-15≤0
y≥0
，当且仅当x=y=3时，z=ax-y取最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A、(-
2
3
，
3
5
)
B、(-
2
3
，
3
4
)
C、(-
3
4
，
2
3
)
D、(
3
4
，
3
5
)
已知直线y=k（x+2）与双曲线
x2
m
-
y2
8
=1，有如下信息：联立方程组：
y=k(x+2)
x2
m
-
y2
8
=1
消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0，分类讨论：
（1）当A=0时，该方程恒有一解；
（2）当A≠0时，△=B2-4AC≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是（　　）
A、（1，
3
]
B、[
3
，+∞）
C、（1，2]
D、[2，+∞）
下列说法：①2013年考入清华大学的性格外向的学生能组成一个集合；②空集∅⊆{0}；③数集{2x，x2-x}中，实数x的取值范围是{x|x≠0}．其中正确的个数是（　　）
A、3B、2C、1D、0
在平面直角坐标系xOy中，动点p（x，y）（x≥0）满足：点p到定点F（
1
2
，0）与到y轴的距离之差为
1
2
．记动点p的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线x=-
1
2
于点D，求证：直线DB平行于x轴．
如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的右顶点为A（2，0），点P（2e，
1
2
）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足
OC
=λ
BA
，且
OC
•
OB
=0，求实数λ的值．
如图所示，已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1，A、B为双曲线的两个顶点．
（1）当a=2，b=
3
，直线l：y=x-4与双曲线交于C、D两点，求线段CD的长度；
（2）在x轴上是否存在这样一个定点M（λ，0），过M的直线与双曲线有两个交点C、D，并且无论怎么旋转直线CD（在保证直线和双曲线有两个交点的前提下），始终CA⊥AD．如果存在，请求出λ的值；如果不存在，请说明理由．
已知椭圆C1：
x2
a
2
1
+y2=1(a1＞1)与C2：y2+
x2
a
2
2
=1(0＜a2＜1)的离心率相等．直线l：y=m（0＜m＜1）与曲线C1交于A，D两点（A在D的左侧），与曲线C2交于B，C两点（B在C的左侧），O为坐标原点，N（0，-1）．
（Ⅰ）当m=
3
2
，|AC|=
5
4
时，求椭圆C1，C2的方程；
（Ⅱ）若2
ND
•
AD
=|
ND
|•|
AD
|，且△AND和△BOC相似，求m的值．

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